「コード比ベクトル」回りを群論とか使って洗練させたかった

Sat, 24 Jan 2026 19:38:00 +0900

こういう記事を見かけた。コードをベクトルを使って表そう！｜31Z(ミズ)皆さんこんにちは、おみずさんですよ。 CM、Dm、Am7、G7、Ebdim7…. この世にはいろんなコードがありますねそしてこれらって、スカラー→A m7←コードの構造を表すベクトルってな感じで …note（ノート）note.com

なんかめっちゃ洗練化したい‼️(?)の欲求に駆られました、ので色々考えていこうと思います。全然群論とか知ってる前提で話します。

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ここでは任意の純正音程からなる集合、つまり純正律を\( \specialset{J} \)と書き、\(p(n)\)-limit純正律を\( \specialset{J}_n \)と書きます。堆積の演算を\( \cdot \)と書いた場合、これらの組\( (\specialset{J}_n, \cdot) \)はアーベル群になります。更に順序を定義でき、順序を\(\leq\)とした時、\( (\specialset{J}_n, \cdot, \leq) \)は順序アーベル群という構造になります。~~多分あんま使わないけど~~知っておくだけ損ではないと思います(ピタゴラス音律とかで行う、音程をピリオド(オクターブ)内に押し込む操作の一意性とかが示せる)。証明とかは端折ります。

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何かしら純正音程を持ってきた時、例えばオクターブを何の単語も付けずに単純に\(2\)と表記したり、完全五度を\(\dfrac{3}{2}\)と表記することができると思います。これを個人的には「有理数表記」とか呼んだりしています。多分この記事ではこっちがメインです。

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音程の累乗\( x^n: X \times \specialset{Z} \rightarrow X \)を以下のように定義します。

\[ x^n = \begin{cases} \underbrace{ x \cdot x \cdot \ldots \cdot x }_{n} & (n > 0) \\ 1 & (n = 0) \\ \underbrace{ x^{-1} \cdot x^{-1} \cdot \ldots \cdot x^{-1} } _{-n} & (n < 0) \\ \end{cases} \]

群論 on Furcht968

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